山东省冠县武训高级中学 2014 高二数学 3-3 第 1 课时 基本不等式复习导学案 新人教 A 版第 1 课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果 a,b 都是非负数，那么≥,当且仅当 a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中称为 a,b 的算术平均数，称为 a,b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b 时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当 a≠b 时，（a-b）2>0；当 a=b 时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即 a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以 a+b 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC=a,CB=b.过点 C 作垂 直于直径 AB 的弦 DD′，连结 AD、DB，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD ２=CA·CB,即 CD=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD，即≥，其中，当且仅当点 C 与圆心重合，即 a=b 时，等号成立.1以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式≤（a≥0,b≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于 a2+b2≥2ab 和≥（a,b>0）（1）两个不等式：a2+b2≥2ab 与≥成立的条件是不同的，前者要求 a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，而≥是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a2+b2≥2ab，≥都是带有等号的不等式.“当且仅当 a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b”时，a2+b2≥2ab，≥中只有等号成立，反之，若 a2+b2≥2ab, ≥中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式...
