山东省乐陵市第一中学 2015 届高三数学 第 13 周 空间向量在立体几何中的应用（一学案 【学习目标】1.理解直线的方向向量及平面的法向量 .2.能用向量语言表述线线、线面、面 面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).【重点难点】能用向量方法研究立体几何问题中的应用．【知识梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：已知平面 α，如果向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫做平面 α 的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2 的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线 l的方向向量为 n，平面 α的法向量为 ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0【自我检测】1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( )(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行( )(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角( )(4)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( )2．(人教 B 版教材习题改编)设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向量．若 α⊥β，则 t＝( )A．3 B．4 C．5 D．63．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l 与 α 相交4．(2014·聊城模拟)平面 α 的一个法向量为 n＝(1，－，0)，则 y 轴与平面 α 所成的角的大小为( )A. B. C. D.5．(2012·陕西高考)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝ CC1＝2CB，则直线BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )A. B.C. D.【合作探究】考向 1 利用空间向量证明平行、垂直【例 1】 (14·青岛一模)如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD 成 30°的角．(1)求证：CM∥平面 PAD；(2)求证：平面 PAB⊥平面 PAD.考向 2 利用空间向量求线线角和线面角【例 2】 ...
