中国矿业大学第一学期《数学分析 III》试卷（A）卷 参考答案考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷一(8 分) 设，其中具有两阶连续偏导数，求。解： 二 (8 分) 求函数的极值。 解：（1）求稳定点. 由方程组得两个稳定点点 ，。（2）求的二阶偏导数。，，。（3）讨论稳定点是否为极值点。在处，有，，，，由极值的充分条件知 不是极值点，不是函数的极值；在处，有，，，，而，由极值的充分条件知 为极大值点，是函数的极大值。三 （8 分）设 ，求。 解：方程组两端对 求导，得1即则 ，四 （8 分）设，求。解：画出二重积分的积分区域，交换积分次序得： 故。二法：令，则，因此 五 （8 分）求曲面的边界曲线的形心坐标。 解：由对称性，，而 故形心坐标为。六 （10 分）求椭圆柱面位于 xoy 平面上方及平面下方部分柱面的面积。 解：[法一] 计算曲面积分 时，先把曲面投影到平面上，投影区域为：2 ，此时曲面方程应为：，再化为上的二重积分计算。 答案：[法二] 计算曲面积分 时，把面积微元用弧微分表达，即，其中曲线为椭圆周。再利用椭圆的参数方程把该曲线积分化为定积分计算。答案：。七 （10 分）求半径为的均匀球体对于过球心的一条对称轴 的转动惯量（体密度）。解：取球心为原点， 为 轴 ，则球体所占区域为：，于是由转动惯量计算公式，球体对 轴的转动惯量为： 。八（12 分）求出椭球面在第一卦限中的切平面与三个坐标面所围成四面体的最小体积。 解：椭球面在第一卦限中点处的切平面方程为： 即3于是这个切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为：，则问题转化为求在条件下的条件极值问题。 作拉格朗日函数 解得。 因为这是唯一驻点，故最大体积为。 九 （14 分）计算，其中为以为圆心，为半径的顺时针圆周。 解：令，。如果，则由格林公式知： 4如果，，顺时针椭圆周。 。十（14 分）设 为曲面 取上侧，计算 解：补辅助面,取下侧[或用柱坐标:]5
