4.2.3 直线与圆的方程的应用学案一．学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：坐标法：建立适当 的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题四．自主探究：（一）例题精讲：【例 1】有一种大型商品，A、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是 B 地运费的 3 倍．已知 A、B 两地相距10 千米，顾客购物的标准是总费用较低，求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．解：建立使 A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是 a 元. 若在 A 地购货费用较低，则：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费即 . a＞0，∴ 8x2＋8y2＋100x＋200y≤0.得 (x＋)2＋y2≤()2 .∴ 两地购物区域的分界线是以点 C(－，0)为圆心，为半径的圆. 所以，在圆 C 内的居民从 A 地购物便宜，圆 C 外的居民从 B 地购物便宜，圆 C 上的居民从 A、B 两地购物总费用相等．【例 2】自点 A(-3,3)发出 的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线 l 所在的直线方程.解 ： 由 已 知 可 得 圆 C ：关 于 x 轴 对 称 的 圆 C‘ 的 方 程 为，其圆心 C‘（2，-2），易知 l 与圆 C’相切. 设 l: y-3=k(x+3), 即 kx-y+3k+3=0.∴，整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直线方程为 y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“”求切线方程 也可, 但过程要复杂些. 【例 3】实数满足， 求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程为，表示以为圆心，2 为半径的圆. （1）设，几何意义是：圆上点与点连线的斜率. 由图可知当直线 MQ 是圆的切线时，取最大值与最小值。 设切线，即. 圆 心 P 到 切 线 的 距 离， 化 简 为， 解 得或. ∴ 的最大值为 0,最小值为.（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点. ∴ 圆心 P 到直线的距离≤2，解得≤≤. ∴ 的最大值为，最小值为.点评：代数式...
