山东省泰安市肥城市第三中学 2013-2014 学年高一数学 4.2.3.2 直线与圆的方程的应用复习学案【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学重难点】教学重点 ：坐标法求直线和圆的应用性问题．教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．【教学过程】1 、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 例 1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程. 结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为. 配 方 得 到 标 准 式 方 程 如 下 所 示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去， 得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关 系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，，又半径（ 弦 长 公 式 ） ， 所 以 所 求 的 圆 的 方 程 是 :.解法三：我们可以求出两点的坐标， 根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。例 2、已知圆 O 的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.结论：解法一：参数法（常规方法）设过 A 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时），P （ x,y) ， 则， 消 去y ， 得 到 如 下 方 程所以我们可以得到下面结果， 利 用 中 点 坐 标 公 式 及 中 点 在 直 线 上 ， 得 ：(k 为 参 数 ） . 消 去 k 得 P 点 的 轨 迹 方 程 为，当 k 不存在时，中点 P（1，0）的坐标也适合方程.所以 P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点 A 的弦为 MN，则可以设两点的坐标为.因为 M、N 都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和 M、N、P、A 四点共线，可以得到.所以 2x+ [(y-2)/(x-1)] 2y=0，所以 P 点的轨迹方程为（x=1 时也成立），所以 P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知,故点 P 的轨迹是以 AO 为直径的圆.反思总结： 当堂检测:已知与曲线 C：相切的直线 交的正半轴与两点，O 为原点，=a，，．（1）求线段中点的轨迹方程；（2）求的最小值．【板书设计】例 1变式 1例 2变式 2 【作业布置】1 ...
