山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 数学归纳法证明不等式学案 新人教 A 版选修 2-2学习内容学习指导即时感悟【学习目标】1、了解数学归纳法的步骤；2、理解放缩法与数学归纳法证明不等式的联系与区别；3、会用数学归纳法证明不等式。 【学习重点 】数学归纳法证明不等式【学习难点】数学归纳法的步骤 与合理的放缩【回顾·复习】放缩法证明不等式【自主·合作·探究】数学归纳法的步骤：（1）证明当 n 取第一个值 n0（如 n0= 1 或 2 等） 时结论正确（2）假设 n=k (k∈N*， 且 k≥ n0)时结论正确， 证明 n=k+1 时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确【 典型例题】例 1、已知数列 an=n2，bn=2n，从第几项起 an始终小于 bn？证明你的结论。解：选修 4-5 课本 P50 例 1例 2、证明不等式|sin nθ|≤n|sinθ|解：选修 4-5 课本 P51 例 2例 3、证明贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x>-1,x≠0,n 为大于 1 的自然数，那么有(1+x) n>1+nx解：选修 4-5 课本P51 例 3例 4、证 明：如果 n(n 为正整数)个整数 a1,a2,…,an的乘积 a1a2…an=1,那么它们的和 a1+a2+…+an≥n。解：选修 4-5 课本 P52 例 4【反思·提升】【拓展·延伸】1、若 n 为大于 1 的自然数 ，求证新疆王新敞特级教师源 源 源 源 源 源http ://w w w .x j k tyg .c om /w x c /w x c k t@ 126.c omw x c k t@ 126.c omhttp ://w w w .x j k tyg .c om /w x c /源 源 源 源 源 源特级教师王新敞新疆 新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明新疆王新敞特级教师源 源 源 源 源 源http://w w w .x j k tyg .c om /w x c /w x c k t@ 126.c omw x c k t@ 126.c omhttp://w w w .x j k tyg .c om /w x c /源 源 源 源 源 源特级教师王新敞新疆 (1)当 n=2 时，(2)假设当n=k时成立，即3、证明不等式 (n∈N)．证 明：①当 n=1 时，左边=1， 右边=2．左边<右边，不等式成立．② 假设 n=k 时，不等式成立，即．那么当 n=k+1 时，这就是说，当 n=k+1 时， 不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立．
