高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式 总第 34 期§7.4 基本不等式:≤基础自测1.已知 a＞0,b＞0，+=1，则 a+2b 的最小值为 .答案 7+22.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若 x,y∈R+，且 x+4y=1,则 x·y 的最大值是 .答案 3.已知 x＞0,y＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值是 .答案 44.x+3y-2=0，则 3x+27y+1 的最小值为 .答案 75.（2008·江苏，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值是 .答案 3例题精讲 例 1 已知 x＞0,y＞0,z＞0.求证： zyzx≥8.证明 x＞0,y＞0,z＞0,∴ xy +≥＞0, +≥＞0. +≥＞0,∴≥=8.（当且仅当 x=y=z 时等号成立）例 2 （1）已知 x＞0,y＞0，且+=1,求 x+y 的最小值；（2）已知 x＜,求函数 y=4x-2+的最大值；（3）若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0，求 x+y 的最小值.解（1） x＞0,y＞0,+=1,∴x+y=(x+y) =++10≥6+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1,∴x=4,y=12 时，(x+y)min=16.用心 爱心 专心208（2） x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当 5-4x=,即 x=1 时，上式等号成立，故当 x=1 时，ymax=1.(3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy,∴+=1,∴x+y=(x+y)=10++=10+2≥10+2×2×=18,当且仅当=,即 x=2y 时取等号，又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当 x=12,y=6 时，x+y 取最小值 18.例 3 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为 x 米，则长为米.则总造价 f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x++12 960=1 296+12 960≥1 296×2+12 960=38 880（元），当且仅当 x=(x＞0),即 x=10 时取等号.∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元.（2）由限制条件知,∴10≤x≤16.设 g(x)=x+.g（x）在上是增函数，∴当 x=10时(此时=16), g(x)有最小值，用心 爱心 专心209即 f(x)有最小值 1 296×+12 960=38 882(元).∴当长为 16 米，宽为 10...
