高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第 23 期§5.3 平面向量的数量积基础自测1.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 .答案 2.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设=a，=c，=b，则 a·b+b·c+c·a= .答案 3.向量 a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则|a-b|的值是 .答案 4.（2009·常州市武进区四校高三联考）已知向量 a=(2,1),b=(3, ) ( ＞0),若(2a-b)⊥b,则 = .答案 35.(2008·浙江理)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足（a-c）·（b-c）=0，则|c|的最大值是 .答案 例题精讲例 1 已知向量 a=，b=且 x∈.（1）求 a·b 及|a+b|，（2）若 f(x)=a·b-|a+b|，求 f(x)的最大值和最小值.解 （1）a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x, a+b= (2)由（1）可得 f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1用心 爱心 专心148∴当 cosx=时，f(x)取得最小值为-；当 cosx=1 时，f(x)取得最大值为-1. 例 2 已知 a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0＜＜＜).（1）求证：a+b 与 a-b 互相垂直；（2）若 ka+b 与 a-kb 的模相等，求-.(其中 k 为非零实数)（1）证明 (a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,∴a+b 与 a-b 互相垂直.（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),===,又 k 0,cos()=0，而 0＜＜＜,-=.例 3．设两个向量 e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与 e2的夹角为,若向量 2te1+7e2与 e1+te2的夹角为钝角，求实数 t 的范围.解 由向量 2te1+7e2与 e1+te2的夹角为钝角，得即(2te1+7e2)·(e1+te2)＜0,化简即得：2t2+15t+7＜0,解得-7＜t＜-,当夹角为时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)＜0,但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与 e1+te2反向.设 2te1+7e2= (e1+te2), ＜0,可求得，∴∴所求实数 t 的范围是. 巩固练习1.向量 a=(cos23°,cos67°),向量 b=(cos68°,cos22°).(1)求 a·b；（2）若向量 b 与向量 m 共线，u=a+m,求 u 的模的最小值.解 （1）a·b=cos23°·cos68°+cos67°·cos22°=cos23°·sin22°+sin23°·cos22°=sin45°=.（2）由向量 b 与向量 m 共线，得 m= b( ∈R），u=a+m=a+ b=(cos23°+ cos68°,cos67°+ cos22°) =（cos23°+ sin22°，sin23°+ cos22°），用心 爱心 专心149|u|2=(cos23°+ sin22°)2+(sin23°+ cos22°)2=2++1= +，∴当 =-时，|u|有最小...
