高考数学总复习第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示VIP免费

考情分析考点新知①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.1.(必修4P75习题2.3第3题改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．答案：－6解析：a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.2.(必修4P75习题2.3第2题改编)若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝________．答案：(－2，－4)解析：BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(－2，－4)．3.(必修4P74例5改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa＋b＝(λ＋2，2λ)， 向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.4.(必修4P75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为________．答案：解析：设D(x，y)，则由BC＝2AD，得(4，3)＝2(x，y－2)，得解得5.已知e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝2e1－5e2，CD＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．答案：8解析： A、B、D共线，∴AB与BD共线，∴存在实数μ，使AB＝μBD. BD＝CD－CB＝(λ－2)e1＋4e2，∴3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴∴1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥bx1y2－x2y1＝0.[备课札记]题型1向量的坐标运算例1已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM＝3CA，CN＝2CB，求点M、N及MN的坐标．解： A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴CA＝(1，8)，CB＝(6，3)，∴CM＝3CA＝(3，24)，CN＝2CB＝(12，6)．设M(x，y)，则有CM＝(x＋3，y＋4)，∴∴∴M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此MN＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，MN的坐标为(9，－18)．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则BD＝________．答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝AC－2AB＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2向量共线的条件例2已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，求m的值．解：a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)． (a＋b)∥c，∴＝，∴m＝－1.已知向量a＝(6，2)，b＝(－3，k)，若a∥b，求实数k的值．解：(解法1) a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，∴(－3，k)＝(6λ，2λ)，∴∴k＝－1.(解法2) a∥b，∴＝，∴k＝－1.题型3平面向量基本定理例3如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使AP＝λAE，PD＝μCD，AB＝a，BC＝b.(1)求λ及μ；(2)用a、b表示BP；(3)求△PAC的面积．解：(1)由于AB＝a，BC＝b，则AE＝a＋b，DC＝a＋b.AP＝λAE＝λ，DP＝μDC＝μ，AP＝AD＋DP＝AB＋DP，即a＋μ(a＋b)＝λ.解得λ＝，μ＝.(2)BP＝BA＋AP＝－a＋＝－a＋b.(3)设△ABC、△PAB、△PBC的高分别为h、h1、h2，h1∶h＝|PD|∶|CD|＝μ＝，S△PAB＝S△ABC＝8.h2∶h＝|PE|∶|AE|＝1－λ＝，S△PBC＝S△ABC＝2，∴S△PAC＝4.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________．答案：解析：由B、H、C三点共线，可令AH＝xAB＋(1－x)AC，又M是AH的中点，所以AM＝AH＝xAB＋(1－x)AC.又AM＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.1.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、...