考情分析考点新知①了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算.②理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算.1.(课本改编题)复数z=+i的共轭复数为________.答案:-i解析: z=+i,∴z-=-i.2.(课本改编题)已知z=(a-i)(1+i)(a∈R,i为虚数单位),若复数z在复平面内对应的点在实轴上,则a=________.答案:1解析:z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i, z在复平面内对应的点在实轴上,∴a-1=0,从而a=1.3.(课本改编题)已知i是虚数单位,则=________.答案:-+i解析:===-+i.4.(课本改编题)设(1+2i)z=3-4i(i为虚数单位),则|z|=________.答案:解析:由已知,|(1+2i)z-|=|3-4i|,即|z-|=5,∴|z|=|z-|=.5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数3+3i,-2+i,-5i,则第四个顶点D对应的复数为________.答案:5-3i解析:BC对应复数为(-5i)-(-2+i)=2-6i,AD对应复数为zD-(3+3i),平行四边形ABCD中,AD=BC,则zD-(3+3i)=2-6i,即zD=5-3i.1.复数的概念(1)虚数单位i:i2=-1;i和实数在一起,服从实数的运算律.(2)代数形式:a+bi(a,b∈R),其中a叫实部,b叫虚部.2.复数的分类复数z=a+bi(a、b∈R)中,z是实数b=0,z是虚数b≠0,z是纯虚数a=0,b≠0.3.a+bi与a-bi(a,b∈R)互为共轭复数.4.复数相等的条件a+bi=c+di(a、b、c、d∈R)a=c且b=d.特殊的,a+bi=0(a、b∈R)a=0且b=0.5.设复数z=a+bi(a,b∈R),z在复平面内对应点为Z,则OZ的长度叫做复数z的模(或绝对值),即|z|=|OZ|=.6.运算法则z1=a+bi,z2=c+di,(a、b、c、d∈R).(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;(2)z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;(3)=+i.[备课札记]题型1复数的概念例1已知复数z=+(m2-5m-6)i(m∈R),试求实数m分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解:(1)当z为实数时,则有所以所以m=6,即m=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则有m2-5m-6≠0且有意义,所以m≠-1且m≠6且m≠1.∴m≠±1且m≠6.所以当m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,则有所以故不存在实数m使z为纯虚数.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时.(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.解:(1)由z∈R,得解得m=-3.(2)由z是虚数,得m2+2m-3≠0,且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)由z是纯虚数,得解得m=0或m=-2.题型2复数相等的条件例2若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,求点P(a,b)到原点的距离.解:由已知ai+2=b-i,∴∴点P(-1,2)到原点距离|OP|=.设复数=a+bi(a、b∈R),则a+b=________.答案:1解析:由=-==i,得a=0,b=1,所以a+b=1.题型3复数代数形式的运算例3已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.解:(z1-2)(1+i)=1-iz1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. z1·z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i.设i是虚数单位,若z=+ai是实数,则实数a=________.答案:解析:z=+ai=+ai=+i∈R,所以a-=0,a=.题型4复数的几何意义例4已知O为坐标原点,向量OZ1,OZ2分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),若z1+z2是实数.(1)求实数a的值;(2)求以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.解:(1) z1+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i=+(a2+2a-15)i是实数,∴a2+2a-15=0.∴a=3,a=-5(舍).(2)由(1)知,z1=+i,z2=-1+i,∴OZ1=,OZ2=(-1,1),∴|OZ1|=,|OZ2|=,cos〈OZ1,OZ2〉===.∴sin〈OZ1,OZ2〉==,∴S=|OZ1||OZ2|sin〈OZ1,OZ2〉=××=.∴平行四边形的面积为.如图所示,平行四边形OABC,顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i,试求:(1)AO、BC所表示的复数;(2)对角线CA所表示的复数;(3)求B点对应的复数.[审题视点]结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即可求解.解:(1...