求解数列通项公式的常用方法 人教版

求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一．观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： （2） （3） （4）.观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、定义法例 2： 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列，若函数 f (x) = (x－1)2，且 a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1) a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，∴=q2，由 q∈R，且 q≠1，得 q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法例 3：已知数列 6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解 易知 1……各式相加得∴一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例 4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以一般地，对于型如= (n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前 项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。例 5：已知下列两数列的前 n 项和 sn 的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）===3此时，。∴=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 ∴注意要先分 n=1 和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例 6. 设数列的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系求证：数列是等比数列。2 解析：因为 所以 所以，数列是等比数列。六、阶差法例 7.已知数列的前 项和与的关系是 ，其中 b 是与 n 无关的常数，且。求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。解析：首先由公式：得： 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为 。3七、待定系...