求曲线的方程【新知导读】1．求曲线的方程的一般步骤是：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如 ( x ， y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{ M ｜ P ( M )} ；(3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)＝0；(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．求曲线方程的五个步骤中，哪些可以省略？答：步骤(2)和(5)可以省略．因此，求曲线方程的步骤可简化为：(1)建系设标；(2)列式表标；(3)化简求果．3．常见的建系方法有哪些？答：(1)以已知定点为原点；(2)以已知定直线为坐标轴(x 轴或 y 轴)；(3)以已知线段所在直线为坐标轴(x 轴或 y 轴)，以已知线段的中点为原点；(4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；(5)让尽量多的已知点在坐标轴上．【范例点睛】例 1 在△ABC 中，已知顶点 A(1，1)，B(3，6)且△ABC 的面积等于 3，求顶点 C 的轨迹方程．解：设顶点 C 的坐标为(x，y)，作 CH⊥AB 于 H，则动点 C 属于集合 P＝｛C｜｜AB｜·｜CH｜＝3｝， kAB＝，∴直线 AB 的方程是 y－1＝ (x－1)，即5x－2y－3＝0．∴｜CH｜＝， ｜AB｜＝，∴＝3，化简，得｜5x－2y－3｜＝6，即 5x－2y－9＝0 或 5x－2y＋3＝0，这就是所求顶点 C 的轨迹方程．用心 爱心 专心点评：顶点 C 的轨迹方程，就是到定直线 AB 的距离等于的动点的轨迹方程．例 2 过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．解法一：设点 M 的坐标为(x，y)， M 为线段 AB 的中点，∴A 的坐标为(2x，0)，B 的坐标为(0，2y)， l1⊥l2，且 l1、l2过点 P(2，4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1．而 kPA＝，(x≠1)，kPB＝，∴＝－1(x≠1)．整理，得 x＋2y－5＝0(x≠1) 当 x＝1 时，A、B 的坐标分别为(2，0)、(0，4)．∴线段 AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程 x＋2y－5＝0，综上所述，点 M 的轨迹方程是 x＋2y－5＝0．解法二：设 M 的坐标为(x，y)，则 A、B 两点的坐标分别是(2x，0)、(0，2y)，连接 PM， l1⊥l2，∴2｜PM｜＝｜AB｜，而｜PM｜＝，∴2，化简，得 x＋2y－5＝0，为所求轨迹方程．解法三： l1⊥l2，OA⊥OB，∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M．∴｜MP｜＝｜MO｜∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂...
