4.2.2 求数列的通项及前 n 项和必备知识精要梳理1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形如 an+1=an+f(n),利用累加法求通项.(2)形如 an+1=anf(n),利用累乘法求通项.(3)形如 an+1=pan+q,等式两边同时加 qp- 1转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前 n 项和 Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.(6)常用裂项结论①1n(n+k )=1k (1n -1n+k);②1(2n-1)(2n+1) =12(12n- 1 -12n+1);③1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1) -1(n+1)(n+2)];④1❑√n+❑√n+k=1k ¿).关键能力学案突破热点一求通项及错位相减法求和【例 1】(2020 山东潍坊一模,18)在① b2n=2bn+1,②a2=b1+b2,③b1,b2,b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件,补充在下面的问题中,并求解.已知数列{an}中 a1=1,an+1=3an,公差不等于 0 的等差数列{bn}满足 ,求数列{bnan}的前 n 项和 Sn. 解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列{bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前 n 项和采用错位相减法来求.【对点训练 1】(2020 全国Ⅰ,理 17)设{an}是公比不为 1 的等比数列,a1为 a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若 a1=1,求数列{nan}的前 n 项和.热点二求通项及裂项相消法求和【例 2】(2020 山东潍坊二模,18)已知数列{an}为正项等比数列,a1=1,数列{bn}满足b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n-3)2n.(1)求 an;(2)求{1bnbn+1}的前 n 项和 Tn.解题心得 1.若条件等式中含有 an,Sn的关系式,或已知条件中含有数列通项的较为复杂的关系式,条件转化的常用方法是由已知关系式再推出一个关系式相减.2.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.【对点训练 2】(2020 浙江,20)已知数列{an},{bn},{cn}满足 a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1= bnbn+2·cn,n∈N*.(1)若{bn}为等比数列,公比 q>0,且 b1+b2=6b3,求 q ...
