5.3 立体几何大题5.3.1 空间中的平行、垂直与空间角必备知识精要梳理1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行:① 利用平行公理;② 利用平行四边形进行平行转换;③ 利用三角形的中位线定理;④ 利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直:① 利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;② 利用勾股定理;③利用线面垂直的性质定理.2.证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行:① 利用线面平行的判定定理;② 利用面面平行的性质定理.(2)证明线面垂直:① 利用线面垂直的判定定理;② 利用面面垂直的性质定理.3.证明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.4.利用空间向量证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α,β 的法向量分别为 μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则:(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0).(3)面面平行:α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0).(4)面面垂直:α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.5.利用空间向量求空间角(1)线线夹角的计算:设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,且它们的夹角为 θ(0≤θ≤ π2),则cos θ=|a·b||a||b|.(2)线面夹角的计算:设平面 α 的法向量为 n,直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ,如下图,则 sin θ=|cos<⃗AB,n>|=|⃗AB·n||⃗AB||n|.(3)面面夹角的计算:设平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2,α 与 β 的夹角为 θ,如下图,则|cos θ|=|cos|=|n1·n2||n1||n2|.(4)易错点提醒① 求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,容易误以为是线面角的余弦.② 求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析.关键能力学案突破热点一空间平行、垂直关系的证明1 . 几何法证明空间平行、垂直关系 【例 1】(2020 江苏南通高三模拟,16)在多面体 ABCDEF 中,BC∥EF,BF=❑√6,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,四边形 ACDF 是菱形,∠FAC=60°,M,N 分别是 AB,DF 的中点.(1)求证:MN∥平面 AEF;(2)求证:平面 ABC⊥平面 ACDF.解题心得用几何法证明空间中的平行与垂直关系,关键是灵活运用各种平行(垂直)关系的转化:【对点训练 1】(2020 吉林长春三模,19)在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=CD=2,PA⊥平面 ABCD,E 在棱PB 上.(1)求证:AC⊥PD;(2)若 VP...
