课时分层作业三十一等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6=()A.16B.32C.64D.128【解析】选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{an}是等比数列,所以a+=,所以a=-.5.在公比为的等比数列{an}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是()A.-B.C.D.【解析】选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2×=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=______.【解析】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒==1.答案:17.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=________.【解析】设数列{an}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{anan+1an+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2==(1-2-3n).答案:(1-2-3n)8.(2015·湖南高考)设Sn为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=__________.【解题指南】由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求an.【解析】因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·烟台模拟)已知等差数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.(2)设bn=,求数列{bn}的前2n项和T2n.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.所以=a1·(a4+2),即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d=2或-1.其中d=-1时,a2=0,舍去.所以d=2,可得an=1+2(n-1)=2n-1.Sn==n2.(2)bn==.所以当n为偶数时,==16.当n为奇数时,==.所以数列{bn}的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.所以数列{bn}的前2n项和T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=+=(16n-16-n).10.(2015·广东高考改编)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值.(2)证明:为等比数列.【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),即4an+2+an=4an+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4an+2+an=4an+1,所以====,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.1.(5分)(2018·福州模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是()A.-5B.-C.5D.【解析】选A.因为log3an+1=log3an+1,所以an+1=3an.所以数列{an}是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.所以lo35=-5.【变式备选】等比数列{an}满足an>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=________.【解析】由等比数列的性质,得a3·a2n-3==22n,从而得an=2n.所以log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)·…·(an-1an+1)an]=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n.答案:2n2-n2.(5分)已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a...
