第一讲 三角函数的图像与性质例 1、已知函数 f(x)=tan(sinx)（1）求 f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求 f(x)的单调区间；（3）判定方程 f(x)=tanπ 在区间（－π，π）上解的个数。解：（1） －1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函数 y=tanx 在 x=kπ+(k∈Z)处无定义，且（－，）[－,]（－π, π），∴令sinx=±，则 sinx=±解之得：x=kπ± (k∈Z)∴f(x)的定义域是 A={x|x∈R，且 x≠kπ±，k∈Z} tanx 在（－， ）内的值域为（－∞，+∞），而当 x∈A 时，函数 y=sinx 的值域 B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。（2）由 f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的 x=和 x=处无定义。设 t=sinx，则当 x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0, ∪(,，且以 t 为自变量的函数 y=tant 在区间（0，），（，上分别单调递增。又 当 x∈[0，]时，函数 t=sinx 单调递增，且 t∈[0, 当 x∈（，时，函数 t=sinx 单调递增，且 t∈（, 当 x∈[，时，函数 t=sinx 单调递减，且 t∈（, 当 x∈（，π）时，函数 t=sinx 单调递减，且 t∈（0，）∴f(x)=tan(sinx) 在 区 间 [0 ，, （,上 分 别 是 单 调 递 增 函 数 ； 在上是单调递减函数。又 f(x)是奇函数，所以区间（－，0 ，[－，－也是 f(x)的单调递增区间是 f(x)的递减区间。故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－， ），（，单用心 爱心 专心1调递减区间为。（3）由 f(x)=tanπ 得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π（k∈Z）sinx=k+(k∈Z)① 又 －1≤sinx≤1，∴∴k=0 或 k= －1当 k=0 时，从①得方程 sinx=当 k=1 时，从①得方程 sinx= －+显然方程 sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有 2 个解，故 f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有 4 个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求 f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚 y=sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集；（2）求 f(x)的单调区间，必须先搞清 f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例 2、设的周期，最大值，（1）求、 、 的值；（2）若、为方程的两个根，且、的终边不共线，求的值。 解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ① ， 且 ②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， .说明：方程组的思想是...
