第 6 讲 函数的奇偶性与周期性一、基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内① 两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ；② 两个偶函数的和、积都是 ；③一个奇函数，一个偶函数的积是 3．周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．注：奇、偶函数的定义域关于原点对称．二、自我检测1．设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x(1－x)，则 f＝________．2． f(x)＝－x 的图象关于_______________对称．3．设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数4．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.二、自我检测考向一 判断函数的奇偶性【例 1】►下列函数：① f(x)＝ ＋ ；② f(x)＝x3－x；③ f(x)＝ln(x＋)；④ f(x)＝；⑤ f(x)＝lg.其中奇函数的个数是______．．【训练 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.考向二 函数奇偶性的应用【例 2】►已知 f(x)＝x(x≠0)．(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2, 0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0 的实数 m 的取值范围．考向三 函数的奇偶性与周期性【例 3】►已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x＝1 对称，当x∈[0, 1]时，f(x)＝2x－1， (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，则 f(2 013)＋f(2 015)的值为________．
