椭圆与直线的位置关系（1）教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学重、难点：能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学过程：（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；（1）代数方法：消元，判断△；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较。（二）新课讲解：1．椭圆与直线的位置关系的判定：例 1．当 m 为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？解：由得，∴ 当，即时，直线和椭圆相交；当，即时，直线和椭圆相切；当，即或时，直线和椭圆相离。说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断。例 2．如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心 O 作直线与椭圆相交于 A、B 两点，若要使的面积是 20，求该直线方程。解： ，∴可设 AB 所在直线方程为 ，由消去 x 得：，∴，用心 爱心 专心1ABF2F1∴，由得，∴直线 AB 的方程为 ，即 ．说明：⑴此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于 y 的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；⑵ 设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况。（3）也可以连接 BF1，则例 3、已知椭圆的焦点分别是、，点 P 在椭圆上，，求证：的面积为。2．弦长问题：例 4．求直线被椭圆所截得的弦长。解：（法一）由得或，∴弦长为 ．（法二）设直线与椭圆的交点为，，由消去 y 得，∴，，∴弦长．用心 爱心 专心2说明：弦长公式，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线。例 5.过椭圆 C：的右焦点，作一直线 交椭圆 C 与 M、N 两点，且 M、N 两点到直线的距离之和为 ，求直线 的方程。解： 椭圆 C 的右焦点为 ：（，0），右准线为，离心率为 ，∴其中分别为 M、N 到准线的距离， ，∴设 的方程为 ：，由消去 y 得：，=设 M、N 两点的横坐标为，由题意知，， ∴==，解得：（或|MN|=|MF2|+|NF2|=2a-e（x1+x2），利用焦半径公式解决焦点弦的弦长问题 ）所求的直线 的方程为：或用心 爱心 专心3_F2_F1_1_MONXY例 6. 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于 P 和 Q 两点，且，，求椭圆的方程。 分析 本题也应有焦点在 x 轴和焦点在 y 轴上两种情形，但分析题目的条件可知，两种情形的解法是相同的，区别仅在于标准方程的形...
