第 4 讲 几何证明选讲、不等式选讲[考情考向分析] 1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定，属 B 级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属 B 级要求．热点一 三角形相似的判定及应用例 1 (2018·徐州模拟)如图， AB 是圆 O 的直径，弦 BD, CA 的延长线相交于点 E, EF 垂直BA 的延长线于点 F.求证： AB2＝BE·BD－AE·AC.证明 连结 AD，BC，因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AD⊥BD，又 EF⊥AB，则 A，D，E，F 四点共圆，所以 BD·BE＝BA·BF.又△ABC∽△AEF，所以＝，即 AB·AF＝AE·AC，所以 BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·＝AB2.思维升华 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．同时，要注意等量的代换．跟踪演练 1 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明 连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以 Rt△ADO∽Rt△ACB.所以＝.又 BC＝2OC＝2OD，故 AC＝2AD.热点二 圆有关定理、性质的应用例 2 (2018·江苏南京师大附中模拟)在△ABC 中，已知 AC＝AB，CM 是∠ACB 的角平分线，△AMC 的外接圆交 BC 边于点 N，求证：BN＝2AM.证明 如图，在△ABC 中，因为 CM 是∠ACB 的角平分线，所以＝.又 AC＝AB，所以＝，①因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的弦，所以 BM·BA＝BN·BC，即＝②由①②可知，＝，所以 BN＝2AM.思维升华 本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想．跟踪演练 2 (1)(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A，B，C 是⊙O 上的 3 个不同的点，半径 OA 交弦 BC 于点 D.求证： DB·DC＋OD2＝OA2.证明 如图，延长 AO 交⊙O 于点 E，则 DB·DC＝DE·DA＝·. OE＝OA，∴DB·DC＝·＝OA2－OD2.∴DB·DC＋OD2＝OA2.(2)(2018·江苏盐城中学模拟)如图，过点 A 的圆与 BC 切于点 D，且与 AB，AC 分别交于点E，F.已知 AD 为∠BAC 的平分线．求证： EF∥BC.证明 如图，连结 ED.因为圆与 BC 切于 D，所以∠BDE＝∠BAD.因为 AD 平分∠BAC.所以∠BAD＝∠DAC.又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DE...
