第 2 讲 数列的综合问题[考情考向分析] 江苏高考中，数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用．近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘，又有等差、等比数列的判断论证，综合性极强．热点一 数列中的探索性问题例 1 (2018·无锡期末)已知数列满足…＝，n∈N*，Sn是数列的前 n 项和．(1)求数列的通项公式；(2)若 ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列，求正整数 p，q 的值；(3)是否存在 k∈N*，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为…＝，n∈N*，所以当 n＝1 时，1－＝，a1＝2，当 n≥2 时，由…＝和…＝，两式相除可得，1－＝，即 an－an－1＝1(n≥2)．所以数列是首项为 2，公差为 1 的等差数列．所以 an＝n＋1(n∈N*)．(2)因为 ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列，所以于是或当时，解得当时，无正整数解，所以 p＝5，q＝9.(3)假设存在满足条件的正整数 k，使得＝am(m∈N*)，则＝m＋1，平方并化简得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，所以或或解得 m＝15，k＝14，或 m＝5，k＝3，或 m＝3，k＝－1(舍去)，综上所述，k＝3 或 14.思维升华 数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点，试题一般是探求数列中项的存在性问题，此类试题的解法一般具有以下特点：假设提出的问题存在，结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解．跟踪演练 1 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝a，且 an＋1＝k(an＋an＋2)对任意正整数 n 都成立，数列{an}的前 n 项和为 Sn.(1)是否存在实数 k，使数列{an}是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，说明理由；(2)若 k＝－，求 Sn.解 (1)设数列{an}是等比数列，则它的公比 q＝＝a，所以 am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1.① 若 am＋1为等差中项，则 2am＋1＝am＋am＋2，即 2am＝am－1＋am＋1，解得 a＝1，不合题意；② 若 am为等差中项，则 2am＝am＋1＋am＋2，即 2am－1＝am＋am＋1，化简得 a2＋a－2＝0，解得 a＝－2 或 1(舍)．当 a＝－2 时，k＝＝＝＝－；③ 若 am＋2为等差中项，则 2am＋2＝am＋1＋am，即 2am＋1＝am＋am－1，化简得 2a2－a－1＝0，解得 a＝－...
