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江苏省高考数学二轮复习 专题六 数列 第2讲 数列的综合问题学案-人教版高三全册数学学案

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第 2 讲 数列的综合问题[考情考向分析] 江苏高考中,数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关,进一步考查其子数列或派生数列的性质等,所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘,又有等差、等比数列的判断论证,综合性极强.热点一 数列中的探索性问题例 1 (2018·无锡期末)已知数列满足…=,n∈N*,Sn是数列的前 n 项和.(1)求数列的通项公式;(2)若 ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,求正整数 p,q 的值;(3)是否存在 k∈N*,使得为数列中的项?若存在,求出所有满足条件的 k 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为…=,n∈N*,所以当 n=1 时,1-=,a1=2,当 n≥2 时,由…=和…=,两式相除可得,1-=,即 an-an-1=1(n≥2).所以数列是首项为 2,公差为 1 的等差数列.所以 an=n+1(n∈N*).(2)因为 ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,所以于是或当时,解得当时,无正整数解,所以 p=5,q=9.(3)假设存在满足条件的正整数 k,使得=am(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63,则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63,所以或或解得 m=15,k=14,或 m=5,k=3,或 m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3 或 14.思维升华 数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点,试题一般是探求数列中项的存在性问题,此类试题的解法一般具有以下特点:假设提出的问题存在,结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解.跟踪演练 1 已知数列{an}中,a1=1,a2=a,且 an+1=k(an+an+2)对任意正整数 n 都成立,数列{an}的前 n 项和为 Sn.(1)是否存在实数 k,使数列{an}是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项 am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,说明理由;(2)若 k=-,求 Sn.解 (1)设数列{an}是等比数列,则它的公比 q==a,所以 am=am-1,am+1=am,am+2=am+1.① 若 am+1为等差中项,则 2am+1=am+am+2,即 2am=am-1+am+1,解得 a=1,不合题意;② 若 am为等差中项,则 2am=am+1+am+2,即 2am-1=am+am+1,化简得 a2+a-2=0,解得 a=-2 或 1(舍).当 a=-2 时,k====-;③ 若 am+2为等差中项,则 2am+2=am+1+am,即 2am+1=am+am-1,化简得 2a2-a-1=0,解得 a=-...

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