第 3 讲 函数、导数的综合问题[考情考向分析] 函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查． B级要求，题目难度较大．热点一 利用导数研究不等式问题例 1 已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)求证：对一切 x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立．(1)解 由题意知 2xln x≥－x2＋ax－3 对一切 x∈(0，＋∞)恒成立，则 a≤2ln x＋x＋.设 h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则 h′(x)＝，当 x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以 a≤h(x)min＝4，即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．(2)证明 问题等价于证明 xln x>－(x∈(0，＋∞))恒成立．又 f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，当 x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以 f(x)min＝f ＝－.设 m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则 m′(x)＝，易知 m(x)max＝m(1)＝－，从而对一切 x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立．思维升华 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．跟踪演练 1 已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)若 f(1)＝0，求函数 f(x)的单调减区间；(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax－1 恒成立，求整数 a 的最小值．解 (1)因为 f(1)＝1－＝0，所以 a＝2，此时 f(x)＝ln x－x2＋x(x>0)，f′(x)＝－2x＋1＝(x>0)．由 f′(x)<0，得 2x2－x－1>0，解得 x<－或 x>1.又因为 x>0，所以 x>1.所以 f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(2)方法一 由 f(x)≤ax－1 恒成立，得 ln x－ax2＋x≤ax－1 在(0，＋∞)上恒成立，问题等价于 a≥在(0，＋∞)上恒成立．令 g(x)＝(x＞0)，只需 a≥g(x)max即可．又 g′(x)＝，令 g′(x)＝0，得－x－ln x＝0.设 h(x)＝－x－ln x(x＞0)，因为 h′(x)＝－－<0，所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设－x－ln x＝0 的根为 x0.当 x∈(0，x0)时，g′(x)>0；当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在(0，x0)上是...
