第三讲 大题考法——数列的综合应用题型(一)数列与不等式问题 主要考查数列中的不等关系的证明及由不等式恒成立问题求参数.[典例感悟][例 1] (2018·南京考前模拟)若各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2＝an＋1 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若正项等比数列{bn}，满足 b2＝2,2b7＋b8＝b9，求 Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；(3)对于(2)中的 Tn，若对任意的 n∈N*，不等式 λ(－1)n＜(Tn＋21)恒成立，求实数 λ的取值范围．[解] (1)因为 2＝an＋1，所以 4Sn＝(an＋1)2，且 an＞0，则 4a1＝(a1＋1)2，解得 a1＝1，又 4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，所以 4an＋1＝4Sn＋1－4Sn＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，即(an＋1＋an)(an＋1－an)－2(an＋1＋an)＝0，因为 an＞0，所以 an＋1＋an≠0，所以 an＋1－an＝2，所以{an}是公差为 2 的等差数列，又 a1＝1，所以 an＝2n－1.(2)设数列{bn}的公比为 q，因为 2b7＋b8＝b9，所以 2＋q＝q2，解得 q＝－1(舍去)或 q＝2，由 b2＝2，得 b1＝1，即 bn＝2n－1.记 A＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， 则 2A＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，两式相减得－A＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，故 A＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3所以 Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)·2n＋3.(3)不等式 λ(－1)n＜(Tn＋21)可化为(－1)nλ＜n－＋.当 n 为偶数时，λ＜n－＋，记 g(n)＝n－＋.即 λ＜g(n)min.g(n＋2)－g(n)＝2＋－＝2－，当 n＝2 时，g(n＋2)＜g(n)，n≥4 时，g(n＋2)＞g(n)，即 g(4)＜g(2)，当 n≥4 时，g(n)单调递增，g(n)min＝g(4)＝，即 λ＜.当 n 为奇数时，λ＞－n－，记 h(n)＝－n－，所以 λ＞h(n)max.h(n＋2)－h(n)＝－2－＋＝－2＋，当 n＝1 时，h(n＋2)＞h(n)，n≥3 时，h(n＋1)＜h(n)，即 h(3)＞h(1)，n≥3 时，h(n)单调递减，h(n)max＝h(3)＝－3，所以 λ＞－3.综上所述，实数 λ 的取值范围为.[方法技巧]解决数列与不等式问题的注意点及策略(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意 n 取正整数的限制条件；(2)恒成立问题可以转化为值域问题，再利用单调性求解；(3)不等式论证问题也可以转化为数列的最值问题来研究．[演练冲关] 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，它们的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，满足对一切n...
