棱锥、多面体和正多面体 [基础知识] [学习指导]1.如何认识棱锥?它与前面所学习的棱柱有什么关系?有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.由定义认识棱锥要注意二点: (1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形; (2)不能忽略“有一个公共顶点”的条件.按多边形的边数分类:棱锥分为三棱锥,四棱锥,五棱锥,……按顶点在底面射影的位置及底面的形状分类:棱锥分为正棱锥和非正棱锥.棱锥和棱柱是两种截然不同的多面体,不存在从属关系,有时把棱锥看成是一个底面缩小成一点的棱柱,是为了更好地挖掘它们性质之间的联系.2.底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗?正三棱锥就是正四面体吗?都不是.正棱锥要同时具备二个条件: (1)底面是正多边形; (2)顶点在底面的射影是底面的中心.正三棱锥的侧面仅可是等腰三角形,底面是正三角形,而正四面体的各面都是正三角形.它们满足以下的从属关系:3.如何理解棱锥的平行截面性质定理?(1)平行截面性质定理提示了截得的棱锥与原棱锥各元素之间的关系.即底面之间相似,对应的侧面相似,并且它们的面积比等于对应高的平方比.(2)过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面.设底面面积为 S,横截面面积为,则.(3)由定理容易发现如下规律:相应的线段比是对应高的比;相应图形的面积比是对应高的平方比;相应图形的体积比是对应高的立方比. [例题精析] 例 1.已知正三棱锥的底面边长为 a,侧面与底面所成角为,求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的大小.[分析]此题由已知侧面与底面所成角为,从作二面角的平面角入手即可.1[解]作底面 ABC 于 O,由正三棱锥的定义,O 是底面正三角形的中心,连结 CO 并延长交 AB 于 D,连结 SD. ∴ 由三垂线定理, .∴是侧面与底面所成二面角的平面角,即. 是边长为 a 的正三角形,∴，∴, .作于 E,连结 AE，∴是三棱锥两相邻侧面所成的二面角的平面角.作， 又.在,，即正三棱锥的高为,两相邻侧面所成二面角的大小为.[解题后的点拨](1)一个正棱锥已知两个独立的量,可求出其它各量,如本题中已知底面边长及侧面与底面所成的角.(2)正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起着重要作用.如图 8-1 它们分别是:高、斜高、底面内切圆半径构成的直角三角形();高、侧棱、底面外接圆半径构成的直角三角形（）；斜高、侧棱、底面半边构成的直角三角形()及含有两相邻侧面所成二面角的平面角的等腰三角形().例 2.如图 8-2,已知正三棱锥 P—ABC ...
