棱锥、多面体和正多面体 [基础知识] [学习指导]1
如何认识棱锥
它与前面所学习的棱柱有什么关系
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥
由定义认识棱锥要注意二点: (1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形; (2)不能忽略“有一个公共顶点”的条件
按多边形的边数分类:棱锥分为三棱锥,四棱锥,五棱锥,……按顶点在底面射影的位置及底面的形状分类:棱锥分为正棱锥和非正棱锥
棱锥和棱柱是两种截然不同的多面体,不存在从属关系,有时把棱锥看成是一个底面缩小成一点的棱柱,是为了更好地挖掘它们性质之间的联系
底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗
正三棱锥就是正四面体吗
正棱锥要同时具备二个条件: (1)底面是正多边形; (2)顶点在底面的射影是底面的中心
正三棱锥的侧面仅可是等腰三角形,底面是正三角形,而正四面体的各面都是正三角形
它们满足以下的从属关系:3
如何理解棱锥的平行截面性质定理
(1)平行截面性质定理提示了截得的棱锥与原棱锥各元素之间的关系
即底面之间相似,对应的侧面相似,并且它们的面积比等于对应高的平方比
(2)过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面
设底面面积为 S,横截面面积为,则
(3)由定理容易发现如下规律:相应的线段比是对应高的比;相应图形的面积比是对应高的平方比;相应图形的体积比是对应高的立方比
[例题精析] 例 1
已知正三棱锥的底面边长为 a,侧面与底面所成角为,求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的大小
[分析]此题由已知侧面与底面所成角为,从作二面角的平面角入手即可
1[解]作底面 ABC 于 O,由正三棱锥的定义,O 是底面正三角形的中心,连结 CO 并延长交 AB 于 D,连结 SD
∴ 由三垂线定理,
∴是侧面与底面所成二面角的平面角,即
是边长为 a 的正三角形,∴，∴,
