第五讲 专题提能——“三角”专题提能课 失误 1因忽视向量夹角范围而失误 [例 1] 已知向量 a，b 均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b 的夹角为________．[解析] 因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以所以即设 a，b 的夹角为 α，则 cos α＝＝，因为 α∈[0，π]，所以 α＝，即 a，b 的夹角为.[答案] [点评] 求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到 cos〈a，b〉＝.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为[0，π]．失误 2因不会变角求值而解题受阻 [例 2] (2018·西安六校联考)设 α 为锐角，若 cos＝－，则 sin 的值为________．[解析] 因为 α 为锐角，所以<α＋<，又 cos＝－，所以 sin＝，所以 sin＝2sincos＝－，cos＝2cos2－1＝－，所以 sin＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.[答案] [点评] (1)破解此类题的关键是应用角的变换法，观察所给的角的特点与要求的三角函数中的角的特点来进行角的变换．如本题中，先把 2α＋转化为 2α＋－，再转化为.(2)解此类题时需要特别注意的地方是在利用同角三角函数的基本关系式时，一定要注意角的取值范围．如本题中由 α 为锐角，可知 α＋的范围，这样可以避免错解.失误 3因忽视对三角形解的个数讨论而失分 [例 3] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝2bsin A，c＝b.(1)求 B 的值；(2)若△ABC 的面积为 2，求 a，b 的值．[解] (1)在△ABC 中，已知 a＝2bsin A，根据正弦定理，得 sin A＝2sin Bsin A，因为 sin A≠0，所以 sin B＝，所以 B＝或 B＝.又因为 c>b，所以 C>B，所以 B＝.(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos ，又 c＝b，化简得 2b2－3ab＋a2＝0，解得 a＝b 或 a＝2b.①因为 S△ABC＝acsin ＝2，所以 ac＝8.即 ab＝8.②联立①②，解得或[点评] (1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断． 策略 1特取法：快解三角、向量的基本问题 [例 1] 设 a，b，c 是单位向量，且 a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为________．[解析] 由已知条件可知向量 a，b 是互相垂直的单位向量，故构造 a＝(1,0)，b＝(0,1)．又 c 是单位向量，故设 c＝(cos α，sin α)，∴(a－c)·(b－c)＝(1－cos α，－sin α)·...
