第 8 课时 函数的奇偶性与周期性【学习目标】1、了解函数奇偶性的概念、图象特征及性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。2、了解函数周期性的概念及图象特征，并能应用它解决一些简单的问题。【学习重点】函数的奇偶性的图象特征及其性质的应用。【必记知识点】1、函数的奇偶性：（1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果对于函数定义域内的任意一个，都有_______________，那么函数为奇函数； 如果对于函数定义域内的任意一个，都有 ，那么函数为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数在处有定义，则必有。（5）若函数是偶函数，则，从而的图象关于 对称。（6）若函数是奇函数，则，从而的图象关于 对称。2、函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数 T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T 为这个函数的周期.3、与函数周期有关的结论：设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立：①；②；③，则函数的周期为 。【基础练习】 1．(2013·南通三模)对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出三个命题：① 若 f(－2)＝f(2)，则 f(x)为偶函数；② 若 f(－2)≠f(2)，则 f(x)不是偶函数；③ 若 f(－2)＝f(2)，则 f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数 x，若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误．1答案：①2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是________．解析： f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.答案：3. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f，且 f(1)＝2，则 f(2 014)＝________.解析： f(x)＝－f，∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．∴f(x)是以 3 为周期的周期函数．则 f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.答案：24、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则时， 。答案：。5、已知函数，其中为常数，若，则______。答案：。【典型示例】考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝解：(1) 由得 x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又 f(1)＋f(－1)＝0...
