江西省修水县第一中学2012届高三数学第一轮复习 基本不等式导学案

江西省修水县第一中学 2011 届高三第一轮复习导学案：基本不等式★目标导航 一.知识与技能了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最值问题。 二.过程与方法通过探索基本不等式的证明方法，挖掘基本不等式的几何内涵，转化基本不等式的形式，应用基本不等式解决问题，培养思维能力★思考交流问题一：什么是基本不等式？你能用不同的方法来证明吗？问题二：请你构造一个几何图形来解释基本不等式。问题三：基本不等式有哪些等价形式？如何用基本不等式解决一些最大（小）值问题？★典例探究例 1.（1）已知求的最大值；（2）已知，求的最小值；（3）已知，求的最小值。例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。这时a=6,a=-10(舍去) 将a=6代入①式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a，b值使ab最大。由题设知当且仅当a=2b时，上式取等号。由a>0,b>0，解得0