沙城中学补习班数学第一轮复习学案 第 十七 讲：课题：数学归纳法一．知识网络1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：① 当 n=n0（每第一个值）时成立；② 假设 n=k（k≥n0）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题成立；这就证明了命题对 n0 以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”；第二步证明了“递推规律”——“若 n=k 命题成立，则n=k+1 命题成立”，从而可以无限的递推下去，保证了对 n0 以后的所有正整数都成立。(2)两点注意: ① 两步缺一不可（如命题 2）② 证“n=k+1 成立”必用“n=k 成立”（归纳假设）如对于等式 2+4+……2n=n2+n+1 可以证明“假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时也成立”，但没有归纳基础。事实上这个等式是不成立的。3．数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；二、经典例题【例 1】用数学归纳法证明：1、.【例 2】是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7）·3n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【研讨.欣赏】如下图，设 P1，P2，P3，…，Pn，…是曲线 y=上的点列，Q1，Q2，Q3， …，Qn，…是 x 轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，设它们的边长为 a1，a2，…，an，…，求证：a1+a2+…+an=n（n+1）. 三、双基题目1．用数学归纳法证明时，由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时，等式左边应添加的式子是 （ ）A．B． C． D．2．某个命题与正整数 n 有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）A．当 n=6 时该命题不成立 B．当 n=6 时该命题成立C．当 n=4 时该命题不成立 D．当 n=4 时该命题成立3.用数学归纳法证明对 n 为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A．时等式成立B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立
