河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3 三个正数的算术—几何平均不等式学案 新人教 A 版选修 4-5【学习目标】1.了解三个正数的算术—几何平均不等式； 2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点难点】三个正数的算术—几何平均不等式的应用. 【学习过程】一、问题情景导入：1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于 3 个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知，那么，当且仅当时，等号成立.二、自学探究：（阅读课本第 8-9 页，完成下面知识点的梳理）1.定理 3.如果，那么 ，当且仅当 时，等号成立.即：三个正数的 不小于它们的 .2 推广：对于 个正数，它们的算术平均 它们的几何平均.，即 ，当 且仅当 时，等号成立.二、例题演练：题型一.应用三个正数的算术—平均不等式求函数的最值：例 1 若，则的最小值是（ ）A.9 B. C.13 D.不存在变式.：若，则的最小值为（ ）A.3 B.1 C.8 D.12题型二.应用三个正数的算术—几何平均不等式证明不等式：1例 2.已知，求证：变式：设，求证：题型三.应用三个正数的算术—几何平均不等式解决实际问题：例 3 甲乙两人同时从地出发走向地 ，甲先用的时间以速度 行走，最后用的时间以速度 行走；乙在前的路程用速度行走，中间的路程用速度 行走，最后的路程用速度 行走，问甲、乙两人谁先到达地，为什么？【课堂小结与反思】2【课后作业与练习】1.函数的最大值是 .2.求函数的最小值.3.设且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.若正数.满足，则的最小值为 .5.已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立.6.设，求证：.37.函数的最大值是 .8.设且，则的最大值是 .9.已知为正数，求证：.10.把一块边长是 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形 ，把它折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？4
