沛县中学教学案例分析1VIP专享

一、不等式证明的常用方法和基本不等式 师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明。下面我们先来看一个问题： [例 1]求证：(a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd)2 如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？ 生：比较法、分析法和综合法。 师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？ 生：要证明 a＞b，只要证明 a-b＞0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明。 证法一 (a2 +b2 )(c2 +d2 )-(ac+bd)2 =a2 c2 +a2 d2 +b2 c2 +b2 d2 -a2 c2 -2abcd-b2 d2 =(bc-ad)2 ≥0 ∴ (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd)2 师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？ 生：有三步： (1)作差(2)变形(3)确定符号 师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？ 生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法。这个不等式能用分析法来证明。 证法二 要证明 (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd)2 只要证明 a2 c2 +b2 c2 +a2 d2 +b2 d2 ≥a2 c2 +2abcd+b2 d2 也就是证明 b2 c2 +a2 d2 ≥2abcd 即 (bc-ad)2 ≥0 (bc-ad)2 ≥0 成立 ∴ (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd)2 成立 (教师指出应用分析法证明时要注意书写格式) 师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？ 生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明。证法三 b2 c2 +a 2 d2 ≥2abcd ∴ a2 c2 +b2 d2 +b2 c2 +a2 d2 ≥a2 c2 +2abcd+b2 d2 即 (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd)2师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式。这些不等式大都是基本不等式，主要有： a2 +b2 ≥2ab(a、b∈R) ， (a、b∈R+ ) 这里要注意： (1)不等式成立的条件，字母的允许值范围； (2)当且仅当 a=b 时，等号成立。 [这里改变了高三复习课先整理知识，然后讲解例题的传统模式，而是先提出问题让学生思考，创设问题情境，激起学生复习的欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆，引起学生的思维。这样可以提高学生复习的积极性。在此基础上，通过教师的启发，让...