河南省沁阳市第一中学2013-2014学年高一数学 2.3.3 空间两点间的距离公式导学案

河南省沁阳市第一中学 2013-2014 学年高一数学导学案：2.3.3 空间两点间的距离公式学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx 的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例 1】已知 A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求 x 的值.解：|AB|=6，∴， 即，解得 x=1 或 x=9.【例 2】求点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标.解：设点 P 关于坐标平面 xOy 的对称点为，连交坐标平面 xOy 于 Q，则坐标平面 xOy，且|PQ|=|Q|，∴在 x 轴、y 轴上的射影分别与 P 在 x 轴、y 轴上的射影重合， 在 z 轴上的射影与 P 在 z 轴上的射影关于原点对称，∴与 P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴ 点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标为(1,2,-3).【例 3】在棱长为 a 的正方体-中，求异面直线间的距离. 解：以 D 为坐标原点，从 D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 P、Q 分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有 x=y. 要求异面直线间的距离，即求 P、Q 两点间的最短距离. 设 P 在平面 AC 上的射影是 H，由在中，，所以，∴x=a-z，∴ P 的坐标为(a-z, a-z, z) ∴ |PQ|==∴ 当时，|PQ|取得最小值，最小值为. ∴ 异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为 0.【例 4】在四面体 P-ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，设 PA=PB=PC=a，求点 P 到平面 ABC的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz，则 P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.过 P 作 PH平面 ABC，交平面 ABC 于 H，则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC...