河南省沁阳市第一中学 2013-2014 学年高一数学导学案：2.4.2 二次函数的性质一. 教学内容：二次函数的综合问题二. 本周教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。【典型例题】[例 1] 求函数在上的最大值。解：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；（2）；（3） 时的草图。由图易知：；即[例 2] 已知函数（1）设 A、B 是的两个锐角，且、是方程的两个实根，求证：；（2）当时，函数的最大值是 8，求的值。证明：（1）方程即为依题意，得（2） 而 ∴ 当时，取得最大值由题意知 ∴ [例 3] 已知函数（、，），，当时，恒有，且对于任意实数、，总有，求函数的解析式。解：由，得 F（0）=0在中，令，得 ∴ ∴ 是偶函数因此 ∴ 又在上恒有所以，即，亦即又 ∴ ，故[例 4] 已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值解：（1）设，由，可知 故由得，因而， 所以（2） ，所以当时，的最小值为当时，的最大值为[例 5] 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 58 万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为 6.8 万元/月，该消费品的进价为 16 元/件，月销售量（万件）与售价（元）的关系如图所示。（1）写出销售与售价的函数关系式；（2）当售价定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？解：（1）根据函数图象得（2）设月利润为 W（万元），则当时，故时，当时，，故时，∴ 当售价定为 23 元/件时，月利润最多为 3 万元。（3）设最早个月后还清转让费，则，∴ 企业乙最早可望 20 个月后还清转让费。[例 6] 是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？解法 1：设，则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质知，只需，故解法 2：任取，则 由在上是减函数可知，对任意的（*）恒成立所以有恒成立，即恒成立 ∴ 因此，当时，（*）恒成立即当时，函数在上是减函数仿上可得当时，函数在上是增函数故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数。[例 7] 已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解：（1）当时，，先证在区间上为...
