湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1 变化率问题与导数概念导学案 新人教 A 版选修 1-1 学习目标1．知识与技能：理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．过程与方法：理解函数在处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．学习重、难点重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念的理解．知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2这段时间里的位置为 s1≤s≤s2，则他的平均速度为 .2．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝ ，Δy＝ ，则当 Δx≠0 时，比值 ＝，称作函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率．3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0 时平均速度的极限，即 v＝lim ＝ 5．一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是 ＝lim ，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ .学习过程1.平均变化率[例 1] 求函数 y＝x3在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当 x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式 1 某质点沿曲线运动的方程为 f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1 到 x＝2 时的平均速度为( )A．－4 B．－8 C．6 D．－62.瞬时变化率[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻 t0处的瞬时速度．应用变式 2 一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2，求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例 3] 根据导数定义求函数 y＝x2＋＋5 在 x＝2 处的导数．应用变式 3求 y＝f(x)＝在 x＝1 处的导数．[例 4] 设 f(x)在 x0处可导，求lim 的值．1课堂巩固训练一、选择题1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( ) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．如果质点 A 按规律 s＝2t3 运动，则在 t＝3 秒时的瞬时速度为 ( )A．6 B．18 C．54 D．813．当自变变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A．在区间[，]上的平均变化率 B．在处的变化率 C．在处的导数...
