导数的应用【考点透视】一、考纲指要1．利用导数求最值的方法，解决一些实际问题．2．用导数的方法研究函数的性质，解决与解析几何、不等式有关的一些综合问题．二、命题落点1．导数在解决实际问题中的应用（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便），如例 1．2．导数与向量、解析几何、不等式或函数图象的混合问题，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意，如例 2、例 3．【典例精析】例 1：（2005·全国３）用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解析：本题考查建立函数关系、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力.设容器的高为 x，容器的体积为 V，则V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x，(00,当 1036 时，V′>0,所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 ．又 V(0)=0,V(24)=0, 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960．例 2：（2004·广东）已知 f(x)=)(32432Rxxaxx在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数 a 的值组成的集合 A；（2）设关于 x 的方程 f(x)=3312xx 的两个非零实根为 x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式 m2+tm+1≥|x1－x2|对任意 a∈A 及 t∈[－1，1]恒成立？若存在，求用心 爱心 专心xm 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（1）f＇(x)=4+2,22xax f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0 对 x∈[－1，1]恒成立，即 x2－ax－2≤0 对 x∈[－1，1]恒成立. ①设 (x)=x2－ax－2，方法一：①(1)120,( 1)120aa －1≤a≤1， 对 x∈[－1，1]，只有当 a=1 时，f＇(-1)=0 以及当 a=－1 时，f＇(1)=0．∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：①0,2( 1)120aa 或0,2(1)120aa 0≤a≤1，或－1≤a<0 －1≤a≤1. 对 x∈[－1，1]，只有当 a=1 时，f＇(－1)=0 以及当 a=－1 时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（2）由,02,0,3123242332...
