3.4 基本不等式的证明 1 教学目标知识与技能1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等[过程与方法情感态度与价值观教学重难点1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.教学流程\内容\板书关键点拨加工润色自学评价1 算术平均数： １．几何平均数 ２．设 a≥0,b≥0 则与的关系为 ≥ ３．基本不等式的证明方法： 比较法 分析法，综合法． 【精典范例】例 1．.设 a、b 为正数, 求证明：点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对 a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．３．把不等式 (a≥0,b≥0)称为基本不等式 4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例 2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知 a>0,求证 a+ (2).已知 a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .(3).已知 x , y , z 是互不相等的正数, 且 x+y+z=1 , 求证: (点评：1..基本不等式的变形公式：1(1) (2) (3) (4) 2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８ 答案：５，４（２）３与１２ 答案：７.５，6（３）Ｐ与９Ｐ 答案：５ p，3p（４）２与２ 答案：p2+1，2p２．已知 a>1 求证 a+≥3３．已知 a+b+c=1,求证 a2+b2+c2≥（提示：只要证 3(a2+b2+c2）≥1 即可)４．已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且 abc=1 , 求证: 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．教学心得2
