高考数学 4.4 平面向量应用举例练习试题VIP免费

课时提升作业(二十七)平面向量应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·秦皇岛模拟)已知向量OA�=(2,2),OB�=(4,1),在x轴上一点P使APBP�有最小值,则点P的坐标为()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设点P(x,0),则AP�=(x-2,-2),BP�=(x-4,-1),故AP�·BP�=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).2.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4相交于A,B两点且满足OAOBOAOB�,O为原点.则正实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【解题提示】利用向量加减法的几何意义找到OAOB�与的关系,然后转化求解.【解析】选B.由OAOBOAOB�可得OAOB,OAOB2,AB22,�又故所以点O到AB的距离d=2,所以00a2,a2,2得又a>0,故a=2.3.(2015·南宁模拟)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且ab,∥则2sinαcosα等于()44A.3B.3C.D.55【解析】选D.由ab∥得cosα=-2sinα,所以tanα=-12.所以2sinαcosα=4.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若OAOBOAOB�(其中O为坐标原点),则k的取值范围是()【解题提示】利用22OAOBOAOBOAOBOAOB�进行转化.【解析】选D.由OAOBOAOB�两边平方化简得OAOB�<0,所以∠AOB是钝角,如图,作OMAB,⊥交AB于点M,则AM=BM,AOM=BOM>45°,∠∠令OM=d,在RtAMO△中,AOM>45°,∠所以AM>d,又AM2+d2=1,所以1>2d2,即212d,d.22所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于22,所以222,k7k7,2k1所以或故选D.5.(2015·哈尔滨模拟)在△ABC中,若ABAC7,ABAC6,�则△ABC面积的最大值为()A.24B.16C.12D.83【解题提示】先根据ABAC7,ABAC6,�求b2+c2的值,从而求得bc的最大值.把cosA用bc表示,从而sinA可用bc表示,最后用SABC=△12bcsinA求解.【解析】选C.由题意可知AB=c,AC=b,所以b·ccosA=7,所以7cosA,ABAC6,bc�所以b2+c2=50≥2bc,所以bc≤25.【加固训练】若OA1,OB4,OAOB2,OAOBOC,�则△ABC的面积是()A.1B.2C.3D.23【解析】选C.因为OAOBOC,OAOCOBBC,OBOCOAAC,��所以OA1,OB4,�又所以BC1,AC4,OAOB2BCAC2,BCAC�即设与的夹角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=BCA.∠BCACBCAC�cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=12,所以cosBCA=∠12,sinBC∠A=32,所以ABC1SBCACsinBCA3.2�6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4aBC2bCA3cAB�=0,则cosB=()11112929A.B.C.D.24243636【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.【解析】选A.由4aBC2bCA3cAB�=0得4aBC2bCA3cACCB(4a3c)BC(2b3c)CA�=0,又BCCA�与不共线,7.(2015·淄博模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若ACAEAF�(λ,μR),∈则log32(λμ)的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令AB�=a,AD�=b,则AC�=a+b,①因为a,b不共线,由①,②得二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·牡丹江模拟)在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为OB�,水流速度为OA�,船实际垂直过江的速度为OD�,依题意知25OA,OB25.2�22ODOBOA,ODOAOBOAOA,ODOA,ODOA0,252525cos(BOD90)()0,22��因为所以因为所以所以所以cos(BOD+90°)=-∠12,所以sinBOD=∠12,所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°.答案:北偏西30°9.若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足12CMCBCA63�,则MAMB�=.【解析】方法一:以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可知A(0,3),B(-3,0),C(3,0).答案:-210.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有极值,设向量a,b的夹角为θ,则θ的取值范围是.【解题提示】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f′(x)=x2+|a|x+a·b,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+a·b=0有两个不同实数根,所以Δ=|a|2-4a·b>0,因为|a|=...