课时提升作业(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·珠海模拟)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是()A.若lα,ml,∥⊥则mα⊥B.若lm,mn,⊥⊥则mn∥C.若aα,ab,⊥⊥则bα∥D.若lα,la,⊥∥则aα⊥【解析】选D.对于A,m与α位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b⊂α,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.2.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若m⊂β,αβ,⊥则mα⊥B.若α∩γ=m,β∩γ=n,mn,∥则αβ∥C.若mβ,mα,⊥∥则αβ⊥D.若αγ,αβ,⊥⊥则βγ⊥【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若αγ,αβ,⊥⊥则β与γ相交,或βγ,∥故D为假命题;若mα,∥则α中必存在直线l与m平行,又mβ,⊥所以lβ,⊥故αβ,⊥故选C.3.已知平面α与平面β相交,直线mα,⊥则()A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当αβ⊥时才存在.【误区警示】本题易由于空间想象不全,漏掉情况而误选.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BCDF,DF∥⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BCDF,∥所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为ABC△的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.【加固训练】如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°.∥∠∠将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°,∥∠∠所以BDCD,⊥又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CDAB,⊥又ADAB,AD∩CD=D,⊥故AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC.5.(2015·西安模拟)已知在正三棱锥S-ABC中,E是侧棱SC的中点,且SABE,⊥则SB与底面ABC所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解题提示】根据条件可找到SB在平面ABC上的射影,进而找到线面角,求解.【解析】选D.如图所示,在正三棱锥S-ABC中,作SO⊥平面ABC,连接AO,则O是△ABC的中心,BC⊂平面ABC,所以SOBC,AOBC,AO∩SO=O,⊥⊥由此可得BC⊥平面SAO,所以SABC.⊥又SABE,BE∩BC=B,⊥所以SA⊥平面SBC,故正三棱锥S-ABC的各侧面全等且均是等腰直角三角形.连接OB,则∠SBO为SB与底面ABC所成的角.设SA=a,则AB=a,BO=a,所以cosSBO=∠.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知ACDE,ACBE,⊥⊥又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.7.(2015·天津模拟)已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题:①若mα,nα,∥∥则mn;∥②若mα,nα,∥⊥则nm;⊥③若mα,mβ,⊥∥则αβ.⊥其中真命题的个数是个.【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.答案:28.(2015·成都模拟)设P是60°的二面角α-l-β内一点,PAα,PBβ,A,B⊥⊥分别为垂足,PA=2,PB=4,则AB的长是.【解析】如图所示,PA与PB确定平面γ,设平面γ与l交于点E,则BE⊥l,AE⊥l,所以∠BEA即为二面角的平面角,所以∠BEA=60°,从而∠BPA=120°,在△BAP中,由余弦定...
