课时提升作业(五十)圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选A.因为圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=22243013,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2015·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=22211k44k3k4,22当k=0时,rmax=142=1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.(2015·北京模拟)已知平面上点P{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16},∈其中+=4,当x0,y0变化时,则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是()A.4πB.16πC.32πD.36π【解析】选C.由题意可得,点P在圆(x-x0)2+(y-y0)2=16上,而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,即36π-4π=32π,故选C.4.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是()A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在RtABP△中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在RtOAR△中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(+),又|AR|=|PR|=2211x4y,所以有(x1-4)2+=36-(+),即+-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=x42,y1=y02,代入方程+-4x1-10=0,得22x4yx4()()4100,222整理得:x2+y2=56,即所求Q点的轨迹方程为x2+y2=56.6.已知点P(2,2),点M是圆O1:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是()A.5-1B.5-2C.2-5D.3-5【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+12-(|PO1|-12)=|PO2|-|PO1|+1=2-5+1=3-5.7.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1+x-2342013xxxx2342013,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b],(a
-1时,f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2012=20131x1x>0.而当x=-1时,f′(x)=2013>0,所以f′(x)>0对任意xR∈恒成立,得函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,因为f(-1)=(1-1)+1111()()2320122013<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在R上有唯一零点x0(-1,0),∈因为F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x0-4(-5,-4),∈所以a≤-5且b≥-4,得b-a的最小值为-4-(-5)=1,因为圆x2+y2=b-a的圆心为原点,半径r=ba,所以圆x2+y2=b-a的面积为πr2=π(b-a)≥π,可得面积的最小值为π,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·泰州模拟)若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是.【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P在圆的外部,即2222aa2aa2a30,32a0,解之得a<-3或1
