课时提升作业(六十一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数列有8个.【误区警示】本题极易出现选B的错误,其原因是忽略公比小于1的情况.2.(2015·郑州模拟)5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A.6B.20C.30D.42【解析】选D.因为五位学生已经排好,第一位老师站进去有6种选择,当第一位老师站好后,第二位老师站进去有7种选择,所以两位老师与学生站成一排的站法共有6×7=42种.【加固训练】三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A.8B.6C.14D.48【解析】选D.先排首位6种可能,十位数从剩下2张卡片中任取一数有4种可能,个位数从剩下的1张卡片中取一数有2种可能,所以一共有6×4×2=48(种).3.(2015·三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种【解析】选B.设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理共有3+3+3=9(种).4.用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,若A,B,C的值互不相同,则不同的直线共有()A.25条B.60条C.80条D.181条【解题提示】A,B,C的值互不相同,用1,3,5,7,9五个数字来替换,是分步乘法计数原理.【解析】选B.用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A,B,C;A,B,C的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是5×4×3=60.5.(2015·青岛模拟)如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A.64B.72C.84D.96【解析】选C.分成两类:A和C同色时有4×3×3=36(种);A和C不同色时有4×3×2×2=48(种),所以一共有36+48=84(种).6.(2015·福州模拟)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【解题提示】以A中最大的数为标准,进行分类讨论,A中最大的数可能为1,2,3,4共四种情况.【解析】选B.当A中最大的数为1时,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24-1=15(种)方法;当A中最大的数为2时,A可以是{2},也可以是{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23-1)=14(种)方法;当A中最大的数为3时,A可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B可以是{4,5}的非空子集,即有4(22-1)=12(种)方法;当A中最大的数为4时,A可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B可以是{5},有8×1=8(种)方法,故共有15+14+12+8=49(种)方法.7.(2015·九江模拟)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n“”为良数.例如:32是“”良数,因为32+33+34不产生进位现象;23“”不是良数,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000“的良”数的个数为()A.27B.36C.39D.48【解析】选D.“”一位良数有0,1,2,共3个;“”两位数的良数十位数可以是1,2,3,“”两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;“”三位数的良数百位可以为1,2,3,十位数为0的,个位可以是0,1,2,共3×3=9个,十位不是0时,“”十位个位可以是两位良数,共有3×9=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000“”的良数.二、填空题(每小题5分,共15分)8.椭圆22xymn=1的焦点在y轴上,且m{1,2,3,4,5},n{1,2,3,4,5,6,7},∈∈则这样的椭圆有个.【解析】m
