课时提升作业(六十六)几何概型(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·信阳模拟)设A为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A连接,则弦长超过半径2倍的概率是()【解题提示】可以过点A作等腰直角三角形,将问题转化为角度比,用几何概型求解.【解析】选B.作等腰直角三角形AOC和AOM,B为圆上任一点,则当点B在上运动时,弦长|AB|>2R,所以P=12.【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.【加固训练】1.(2015·张掖模拟)如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任意一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是()【解析】选A.由定积分可求得阴影部分面积为sinxdx=-cosx=2,矩形OABC面积为2π,根据几何概型概率公式得所投点落在阴影部分的概率为212.2.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为242P42.2.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是()【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为18.3.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为()【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R=12.所以该事件的概率P=4.已知平面区域Ω={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},平面区域M=,若向区域Ω内随机抛掷一点P,则点P落在区域M内的概率为()【解题提示】平面M所表示的区域,可利用线性规划知识画出其区域.【解析】选B.如图所示,画出区域Ω与区域M,则区域Ω是以(1,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为π,区域M是边长为2的正方形,其面积为2×2=2,故所求的概率为2,故选B.【加固训练】已知M={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域M内随机投一点P,则点P落在区域A内的概率为()【解析】选D.区域M为△AOB,区域A为△OCD,所以所求概率5.(2015·惠州模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程2222xyab=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()【解析】选B.方程2222xyab=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆,故即2222ab,ab,a2b,a4b化简得又a[1,5],b[2,4],∈∈画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为154,故所求的概率S15P2432阴影.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分别以O,B为圆心,半径为22画圆弧,点P在两圆之外的概率为.【解析】依题设知所求概率答案:1-47.(2015·贵阳模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是.【解题提示】设长方体的高为h,用h表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h的方程,求出h后再求解体积.【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知24h122h12h4,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3.答...
