专题六 与三角形有关的证明和计算(针对四川中考全等三角形和相似三角形)1 ． (2025· 襄 阳 ) 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AD 平 分 ∠ BAC ， 且 BD ＝ CD ， DE⊥AB 于 点E，DF⊥AC 于点 F.(1)求证：AB＝AC；(2)若 AD＝2，∠DAC＝30°，求 AC 的长．解：(1) AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC (2) AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在 Rt△ADC 中， ∠ADC＝90°，AD＝2，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设 CD＝a，则 AC＝2a， AC2＝CD2＋AD2，∴4a2＝a2＋(2)2， a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝42．(导学号 14952475)(2025·广元预测)在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E 分别是斜边 AB 和直角边 CB 上的点，把△ABC 沿着直线 DE 折叠，顶点 B 的对应点是B′.(1)如图 1，假如点 B′和顶点 A 重合，求 CE 的长；(2)如图 2，假如点 B′和落在 AC 的中点上，求 CE 的长．解：(1)如图 1，设 CE＝x，则 BE＝8－x；由题意得：AE＝BE＝8－x，由勾股定理得：x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝，即 CE 的长为 (2)如图 2， 点 B′落在 AC 的中点，∴CB′＝AC＝3.设 CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2＋32＝(8－x)2，解得 x＝.即 CE 的长为3．(导学号 14952476)情境观察(1)将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图 1 所示．将△A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D，A(A′)，B 在同一条直线上，如图 2 所示．观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是__AD ( A′D ) __，∠CAC′＝__90__°.问题探究(2)如图 3，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E，F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P，Q.试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．解：(1) 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，∴与 BC 相等的线段是 AD 或 A′D， ∠C′AD＝∠C，∠C＋∠CAB＝90°，∴∠C′AD＋∠CAB＝90°∴∠CAC′ ＝ 90° (2)EP ＝ FQ ， 理 由 如 下 ： Rt△ABE 是 等 腰 三 角 形 ， ∴ EA ＝BA ， ∠ PEA ＋ ∠ PAE ＝ ...
