例析抽象函数问题的求解策略

例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学 贺明荣 〔202540〕近年来，常常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。一般地，抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此，学生常常感到难以掌握，老师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法，供参考。1、合理递推例 1：函数 f 具有以下性质：f(x)+ f(x-1) =x2假如 f(19)=94，那么 f(94)除以 1000 的余数是多少？ 解： 由 f(x)+ f(x-1) =x2得 f(x) =x2 - f(x-1) 又 f(19)=94 ， f(20)=20∴2 –f(19) ， f(21)=212 – f(20)= 212 - 202 + f(19)， 依 次 类 推 ， 可 得 f(94)=942–932+922–912+…+222-212+202–f(19)= 94+93+92+91+ …+22+21+202-f(19)= ×74+400–94=4561，所以，余数为 561．评注： 当 f(x)是定义在自然数集 N 上的函数时，可根据题中所给函数方程，通过取特别值得到关于 f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解 ．2、适当赋值例 2、设函数 y=f(x)〔xR ∈且 x ≠ 0〕，对任意实数 x1 、x2 满足 f(x1)+ f(x2)= f(x1·x2) ． (1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) y=f(x)在〔0，+∞〕上为增函数，解不等式 f(x)+f( x - )＜0．证明：(1) 令 x1 =x2 =1 ， 得 f(1)+f(1)=f(1·1) f(1)=0 ∴； 令 x1 =x2 = -1 ，得 f(-1)+f(-1)=f〔(-1)·(-1) 〕= f(1)=0 ， ∴ f(-1)=0 ．(2) 令 x1 =x2 = x ，得 2f(x)=f(x2)； 令 x1 =x2 = -x ， 得 2f(-x)=f(x2)； ∴ f(-x)=f(x) ， 即 y=f(x)为偶函数．(3) f(x)+f( x - )＜0 , 即 f〔x ·(x -)〕＜f(1) , 或 f〔x ·(x -)〕＜f(-1) , 由(2)和 y=f(x)在〔0，+∞〕上为增函数 , 可得 0＜x·(x -)＜1 或 -1＜x·(x -)＜0 解得 ＜x＜ 且 x≠0 , ．评注： 对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量给予特别值，以简化函数，从而到达转化为要解决的问题的目的 ． 3、巧妙换元例 3、 设 f(x)的定义域为｛x∣x≠0,且 x≠1｝，满足 f(x)+f()=1+x ， (1) 求 f(x) ． 解： 令 x = (y≠0，y≠1)，并将 y 换成 x， 得 f()+f()=1+ ， (2) 再令(1)中 x = (y≠0，y≠1)，将 y ...