立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1 球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题
1 球与正方体如图 1 所示，正方体,设正方体的棱长为 ，为棱的中点，为球的球心
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题
例 1 棱长为 1 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A． B． C．D．1
2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球
但是不一定存在内切球
设长方体的棱长为其体对角线为
当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )π 1
3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多
下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法
设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图 2 所示，和分别为上下底面的中心
根据几何体的特点，球心必落在高的中点，，借助直角三角形的勾股定理，可求
例 3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为
2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特别的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内
