习题一1、数系扩展的原则是什么
有哪两种扩展方式
（P9——P10）答：设数系 A 扩展后得到新数系为 B，则数系扩展原则为：（1）（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在 B 中被重新定义
而且对于 A 的元素来说，重新定义的运算和关系与 A 中原来的意义完全一致
（3）在 A 中不是总能实施的某种运算，在 B 中总能施行
（4）在同构的意义下，B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有 A 唯一确定
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法
（2）构造法
2、对自然数证明乘法单调性：设则（1）（2）（3）证明：（1）设命题能成立的所有 C 组成集合 M
由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立
（2） （P17 定义 9）由（1）有 （P17
定义 9）或： （3） 3、对自然数证明乘法消去律：（1）（2）（3）证明（1）（用反证法）（2）方法同上
（3）方法同上
4、依据序数理论推求： 解： （P16
例 1） （2） 5、设，证明是 9 的倍数
证明： 则当 n=k+1 时：
由①，②知，对于任一自然数 n 成立
6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：证明：
由、知，对任意自然数 n 命题成立
7、（1）（2）（3）
解：（1） （2） （3） 所得的各个数皆为自然数，因此，
8、证明： 9
证明整数集具有离散性
证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数 a 和 a+1 之间存在
依据加法单调性， ， 即
这就和自然数集具有离散性相矛盾
10、证明：有理数乘法满足结合律
证明： （1） 当 a,b,c 中至少有一个为零
（1）显然成立
设 a,b,c 都不为零
因为算术数乘法满足结合律，故
故（1）两边的绝对值相等
假如 a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；假如 a,b,c 中没有负数或有两个负数
