青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.3 导数的几何意义导学案 新人教 A版选修 1-1【学习要求】1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.1. 导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线 AD 叫做此曲线在点 A处的 . 于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝ ＝ .(2)导数的几何意义函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 .也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 .2.函数的导数: 当 x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一个函数，称 f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝ .探究点一 导数的几何意义问题 1 如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn的变化趋势是什么？问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例 1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 的图象.根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在 t0，t1，t2附近的变化情况.跟踪 1 (1)根据例 1 图象，描述函数 h(t)在 t3和 t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.(2)若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )5探究点二 求切线的方程问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题 2 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例 2 已知曲线 y＝x2，求：(1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程.跟踪 2 已知曲线 y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0?(2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.【达标检测】1.已知曲线 y＝f(x)＝2x2上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.22.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则 ( )A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－13.已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为________【课堂小结】6
