北京四中高考数学总复习 函数的极值和最值提高知识梳理

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程的根；函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义函数极值点条件求函数极值④ 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：① 函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。② 函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值 394579 典型例题一】例 1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；【解析】因为处取得极值所以所以。又所以在点处的切线方程即.举一反三：【变式 1】设为实数，函数．(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，． 【解析】（1）由知．令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：－0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为(2)证明：设，于是，由(1)知当时，最小值为于是对任意，都有，所以在 R 内单调递增．于是当时，对任意，都有．而，从而对任意．即，故．【变式 2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值...