《高中数学研究性学习案例》三数域扩充与尺规作图两例例 1 如图。已知 AB 为⊙O 的一条直径，P 为⊙O上一定点，问能否用尺规作图法作出⊙O 的一条弦PR，使 PR 与 AB 交于一点 Q（Q 不为 O 点），且QR=AO？证明你的结论。例 2 已知⊙O 及过 O 点的一条直线 ，直线 为⊙O 的一条切线(如图). 问能否仅用圆规和直尺作出⊙O 的另一条切线,使得 与 和 分别交于 A、B 两点， 与⊙O 相切于 P点，并且 AP=BP？证明你的结论. 用心 爱心 专心BA POl2l1l3例 1 解： 不能。 假如能用尺规作图法作出满足条件的⊙O 的一条弦 PR，设AOP= ， OPR= ORP= ，则RQO= ROQ= + ， 在△RQO 中，有（ + ）+（ + ）+ =π所以，即能用尺规作图法三等分任意角 π－2α，矛盾。例如当 =60 度时，上述即为用尺规作图法三等分 60 度角，这是不可能的。例 2 证明：假如能够用尺规作图法作出⊙O 的满足条件的一条切线 ， 与⊙O 相切于 P 点，设 2与⊙O用心 爱心 专心ARPQBＯ相切于 C 点，连接 OB，OP，OC，则，所以∠COB=∠POB=∠POA，即能够用尺规作图法作出任意角∠AOC 的三等分角，这与尺规作图法不能三等分任意角矛盾，特别地，当∠AOC=600时，尺规作图法不能三等分 60 度角． 用心 爱心 专心
