甘肃省永昌县第一中学 2014 高中数学 第四课时 集合与函数学案 新人教 A 版必修 1函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。题型一 求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 设 f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0. f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值为 n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8. f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得 a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三 依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值 ymax＝8，即＝8，解之，得 a＝－4 或 a＝0(舍去)．∴函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果． 已知二次函数 f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为 15；(3)f(x)＝0 的两根立方和等于 17.求 f(x)的解析式．解 依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)，即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.而 x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3×2×＝2－，∴2－＝17，则 a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.题型二 二次函数的综合应用例 2 (2012·淮安模拟)若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1.(1)求 f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由 f(0)＝1 可得 c，利用 f(x＋1)－f(x)＝2x 恒成立，可求出...
