甘肃省永昌县第一中学高一数学：第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1 说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重点 平面向量的数量积及其几何意义 学习难点 平面向量的数量积及其几何意义 教学设计 一、目标展示二、自主学习（一）复习：⑴ 向量加法和减法运算的两个法则是 和 . ⑵ 向量数乘运算的定义是 .（二）[读教材·填要点]1．平面向量数 量积的定义已知两非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则把数量|a||b|·cos θ 叫做 a 与 b 的 (或内积)，记作 ，即 规定零向量与任一向量的数量积为 2．向量的数量积的几何意义(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上( )的投影．(2)几何意义：数量积 a·b 等于a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 的乘积．3．向量的数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量， θ 为 a 与 b的夹角．(1)a⊥b⇔ (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ 当 a 与 b 反向时，a·b＝ (3)a·a＝ 或|a|＝ ＝ (4)cos θ＝ .(5)|a·b| |a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝ (交换律)．(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)．(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．三、合作探究探究 1．向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？探究 2．投影是向量还是数量？探究 3．对于向量 a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？探究 4．若 a，b 是非零向量，则|a·b|＝|a||b|一定成立吗？探究 5．若 a，b，c 是非零向量，且 a·c＝b·c，则 a＝b 一定成立吗？四、精讲点拨[例 1] 已知 a，b 的夹角为 θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求 a·b.(1)θ＝135°；2)a∥b；(3)a⊥b.若本例条件变为“θ＝120°”，试求(2a－b)·(3a＋2b)．[悟一法]求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|·cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．[通一类]1．在等边△ABC 中，边长为 1，求·，·. [例 2] 已知单位向量 e1，e2的夹角为 60°，求向量 a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[悟一法]1．求向量夹角的方法：(1)求出 a·b，|a|，|b|，代入公式 cos θ＝求解．(2)用同一个量表示 a·b，|a...
