甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.11 抛物线的几何性质教案 新人教 A 版选修 1-1复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是 y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程 y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了（ii）例题讲解与引申．例题 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 m 的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为 y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得 p=4．因此，所求抛物线方程为 y2=-8x．又点 M(-3，m)在此抛物线上，故 m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得 p 和 m．由学生演板．由题意1在抛物线上且|MF|=5，故例 4 过抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B两点，且A(x1 ，y1)、B(x2，y2)(图 2-34)．证明：(1)当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 方程为：此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标，则有 y1y2=-p2．或 y1=-p，y2=p，故 y1y2=-p2．综合上述有 y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点， 2
