第二章 平面解析几何初步听课随笔第二节 圆与方程 第 15 课时 圆与圆的位置关系【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．【课堂互动】自学评价1．圆与圆之间有外离，外切，相交，内切，内含五种位置关系． 2.设两圆的半径分别为，圆心距为，当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？ 【精典范例】例 1：判断下列两圆的位置关系： 【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距因为 ，所以两圆外切． （ 2 ） 将 两 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 ， 得．故两圆的半径分别为，两圆的圆心距 ．因为，所以两圆相交．点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断与的 大 小 ， 有 时 还 需 要 判 断与的关系．例 2：求过点且与圆切于原点的圆的方程．分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．【解】将圆化为标准方程，得，则圆心为，半径为．所以经过圆与圆的位置关系外切相交内切外离内含此圆心和原点的直线方程为．设所求圆的方程为．由题意知，在此圆上，且圆心在直线上，则有 于是所求圆的方程是．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线上，又圆心在直线，从而圆心坐标为，，所以所求圆的方程为．追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：；．答案：（1）内切，（2）相交．2. 若圆与圆相交，求实数的取值范围．答案：．【选修延伸】一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程 例 3: 已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组 ，得．因为，两点坐标都满足此方程，所以，即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆的圆心，半径．又到直线的距离为．所以，． 即 两圆的公共弦长为．点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析． 例 5 ： 求 过 两 圆 的交点，且圆心在直线上的圆的方程．分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的...
